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생물의 생장속도는 무한할까?

생장속도와 다양한 생장곡선

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By 김덕유 기자 Posted18-10-31 23:24 Comments1건
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본문

 

세상에 존재하는 생물들의 목적은 무엇일까?

 어느 사람은 그 누구도 존재의 가치를 가지고 있지 않다고 말하고,

어떤 사람은 존재의 목적은 존재 그 자체에 있다는 둥 어려운 철학적인 대답을 하지만,

생물학적인 관점에서 보자면 생물의 존재목적은 저명한 과학자 리처드 도킨스가 그의 책

[이기적 유전자]에서 역설하였듯, 생장과 번식에 일차적인 목적이 존재하는 것이다.

('이기적 유전자'적 관점에서 본다면 생물들은 그저 DNA공장 이상의 역할을 하지 않는다고도 생각할 수 있다. DNA공장으로써의 역할을 적절히 수행하려면 생물들은 DNA를 충분히 복제하고 퍼트릴 수 있도록 생장하여야 하고, 번식의 과정을 통해 자신의 클론을 만듦으로서 DNA와 DNA공장을 만든다.)

 

자, 갑작스럽지만 바로 여기에 한 마리의 박테리아가 있다고 생각해보자,

이 박테리아는 이분법을 통해 증식할 것이다. 한 마리가 두 마리로, 두 마리가 네 마리로, 네 마리가 여덟 마리로.... 끊임없이 분열한다고 생각하면 아메바는 지수적으로 어마어마한 숫자로 번식하게 될 것이다.

 

 

 

[그래프1. 4​T 로 분열하는 박테리아의 경우]

처음 네 마리의 박테리아가 1분에 한 번 분열한다고 가정한 경우의 그래프를 'geogebra'프로그램을

활용해 그려보았다. 시간이 크게 지나지 않았음에도 불구하고, 지수적으로 증식하여 얼마 지나지

않아 몇만, 몇억 따위는 우스운 숫자의 박테리아가 될 것이다. 그러나 실제로 이분법으로 번식하는

박테리아의 경우에도 위와같이 박테리아가 늘지 않는다는 것은 우리가 경험적으로 잘 알고 있다.

(그러지 않는다면 이미 지구전체가 박테리아로 뒤덮여 있어도 이상할 것이 없다!)

그렇다면 왜 그런 것일까?

 

위의 그래프를 잘 살펴보도록 하자. 그래프에서는 박테리아의 '성장'만을 변수로 계산하였다.

즉, 박테리아의 생장에 한계가 없으며 박테리아의 노화에 따른 사멸이 존재하지 않는다는 가정 하에

식이 전개되었기 때문에 위와같이 박테리아가 온 지구를 뒤덮을 수 있게 되었다. 그러므로 조금 더

'현실적'인 상황을 반영하기 위해서는 박테리아가 일정 시간이 지나면 사멸한다는 조건을 추가하여야 한다. 이 조건을 추가한 그래프가 바로 지수적 개체군의 성장, J형 생장곡선이다.

 

1. J형 생장곡선

일정시간동안의 개체군 크기의 변화는 다음과 같이 표현할 수 있다.

개체군 변화량=(출생+유입)-(사망+유출)인데,

J형 생장곡선에서는 유입과 유출이 없는 닫힌계를 가정하고,

외부와의 개체 출입이 없는 닫힌계에서

나중 개체 수 = 처음 개체 수 + 출생 수 사망 수

Nt : 처음 개체 수

Nt : 나중 개체 수

Bt : 출생 수

Dt : 사망 수

이때, 개체수 N을 시간에 대하여 미분하면 이므로

 

 

 

같은 변수들끼리 이항하여 나타내면

 

 

 

양변을 적분하면

 

 

 

 

 

 이때닫힌계가 '적절한 환경'에서 '저밀도'로 서식하는 경우

(다시 말해 얼마든지 번식하도록 자원과 공간이 풍부한 경우)

준식이 과 같은 지수적 함수가 나타나고, 이 모양이 J와 비슷하여 J형 생장곡선이라 부른다.  그러나 이와 같은 J형 생장곡선은 먹이, 공간, 스트레스, 자원 등과 같은 내용이 결여된 비현실적이고 이상적인 식이다. 현실의 어디에 자원이 무한하며, 스트레스 따위가 없는 곳이 존재하겠는가! 그런 유토피아는 안타깝게도 철학자와 몽상가의 머리, 정치가의 언변속에서만 존재한다. 그러하므로 우리는 조금 더 '현실적'인 실제 환경을 반영하여 시그모이드함수의 일종인 로지스틱 생장곡선 즉, S형 생장곡선을 만들어 냈다.

 

 2. S형 생장곡선
개체수 N을 시간에 대하여 미분한 식에 개체 수의 자연최대증가율 (r)과
먹이, 환경 등의 요소가 수반된 ‘환경 수용력’ (k)을 반영하면


 


< 실제 증가율 r(1-N/k)은 N이 k에 다가갈수록 0에 수렴한다 >

 

J형 생장곡선과 같이 적분하여주면

 

 

 

 

 

 

Nt로 정리하면

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-시간이 지남에 따라 개체군의 크기가 환경수용력에 수렴한다.

(k가 증가함에 따라 증가율의 변화가 감소해 결국 k값에 수렴하므로)

 


 

 

 

 

와 같이 증가율이 함수로 나타내어진다.


교과서의 준식과 마찬가지로 ‘geogebra’ 프로그램을 활용하여 처음 개체 수, 환경수용력, 자연증가율 등의 임의로 조절하여 그래프를 그려보면

 

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<그래프2. N0=1, k=1, r=0.5 인 경우의 그래프>

 


 Nt의 그래프가 위와 같이 S자형을 띄기 때문에 실제 환경을 반영한 로지스틱 생장곡선을

S자형 생장곡선이라고 부른다.

 그러나 이 로지스틱 생장곡선에도 한계는 있다. 바로 자연증가율과 환경수용력이 적절하게 유지가 되어야 한다는 점이다.  정상적인 환경이라면 자원의 증가율이 개체 수의 증가율을 따라잡지 못할 것이라고 유추를 할 수 있기 때문이다. 생물은 끊임없이 늘어나고, 각 개체가 요규하는 자원의 양은 계속해서 많아지는데 자원의 양은 한정되어 있는 것이 기본적이다. 이를 염려해 과거 중국이나 우리나라 같은 경우 산아제한정책을 펼치기도 했듯이 말이다.
 또, 로지스틱 생장곡선의 경우 외력에 의해 임의로 환경이 통제될 경우, 함수의 그래프가 실제와는 일치하지 않을 수 있다는 점, 생물의 생장상황만을 고려하고 생장이 끝난 후 사멸기는 고려하지 않았다는 점, 개체의 증가율이 세균이나 사람처럼 특정한 번식기 없이 연속적인 경우의 모델만 나타낼수 있는 등의 한계가 있다.
 그러나 로지스틱 생장곡선은 한계가 명확히 정해져있는 상황에서의 생장에 대한 대략적인 근사치를 시작적으로 잘 나타나기 때문에, 실험실 단계에서의 개체군 증가 뿐만 아니라 경제, 도시공학, 

산림공학 등에도 폭넓게 활용되는 함수이다.​

 

지금까지 생물의 생장속도와 그를 억제하는 요인을 반영한 J형 생장곡선, S형 생장곡선에 대해서 알아보았다. 본 기사에서 밝힘과 같이, 어떤 자연현상에 대한 수학적 모델이 언제나 모든 상황에 대해서 대응한다는 것은 사실상 불가능한 일이다. 그만큼 현실은 복잡하고 다양한 변수가 존재하며, 예상치 못한 외적 변수가 가해지는 일도 다반사이기 때문이다.

 하지만 지금 우리가 생물의 생장이 대략적으로 어떠하게 이루어지는지 알 수 있는 것 처럼, 자연현상에 대하여 일반적인 경우의 수학적 모델을 만든다는 일은 그 현상을 이해하고, 다양한 상황에서의 대략적인 값은 유추할 수 있도록 도와준다.

 즉, 수학이 과학의 언어가 되는 것이다.

 모든 언어가 완벽하게 이데아를 표현할 수 없지만 그것을 이해하는데는 충분한 도움이 되듯이 수학또한 자연현상이라는 이데아를 설명해주는 훌륭한 언어가 되어준다. 이를 생물학에 활용하면 수리생물학이, 물리에 활용하면 수리물리학이 되듯이 한계없이 다양한 분야가 파생되게 된다.

 입시를 준비하는 우리에게 있어서 수학은 입시생들의 최악의 적으로 언제나 무찔러야할 최종보스라고만 생각하기 쉽지만, 이런 수학의 다양한 용도와 그 중요성, 필요성을 깨닫게 된다면 막막한 적같던 수학도 좀 더 친근하게 여길 수 있지 않을까!
 오늘도, 수학이 우리 삶에 한 층 더 깊이 들어오는 날이었다.

 

 

 사진출처

그래프1 https://www.geogebra.org/graphing

그래프2 https://www.geogebra.org/graphing

 


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[인용출처]
사이언스올 과학백과사전-생장곡선
https://www.scienceall.com/%EC%83%9D%EC%9E%A5%EA%B3%A1%EC%84%A0growth-curve/
[사진출처]
그래프 1 https://www.geogebra.org/graphing
그래프 2 https://www.geogebra.org/graphing
IT/과학부 김덕유 기자
E-mail : shark515@naver.com
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